Dwarse wiskundigen willen af van oneindigheid, sleutelbegrip in hun vakgebied: ‘Totale onzin’
Aan alles komt een einde, heet het. Maar in de wiskunde is oneindig een van de belangrijkste begrippen. Tot ergernis van een groepje rebellen, die betwijfelen of het bestaat en ervan af willen. ‘Het oneindige is heel lelijk.’
Een belofte vooraf: aan dit verhaal komt een eind. Net als aan de meeste andere zaken in het leven. Of het nu de hoeveelheid appels betreft in een mandje, of zelfs de hoeveelheid dollars van het vermogen van Elon Musk: wie doortelt, is uiteindelijk altijd een keertje klaar. Eindigheid is de norm.
Heel anders is dat in de wiskunde. Wanneer je de getallen zelf beschouwt, komt dat eind juist nooit in zicht. De getallen 1, 2, 3, 4, enzovoorts, gaan altijd door. ‘Je kunt er eeuwig één bij blijven optellen. Er bestaat voor zover we weten niet zoiets als het grootst mogelijke natuurlijke getal’, zegt wiskundige Benno van den Berg van de Universiteit van Amsterdam.
De natuurlijke getallen, zoals wiskundigen ze noemen, vormen daarmee een reeks zonder eindpunt. Eentje die doorloopt tot ver voorbij de ijlste uithoeken van het menselijk vermogen tot tellen, tot diep in het schimmige domein van de oneindigheid.
Eenmaal in dat domein aangekomen, groeit echter het ongemak van sommige wiskundigen. Een klein groepje, weliswaar, maar wel eentje met een aan oneindigheid grenzende overtuiging van het eigen gelijk.
Ketters
‘Ik kan geen professor zijn met een vaste aanstelling zonder aan dit soort bizarre dingen te doen’, zei wiskundige Doron Zeilberger onlangs tegen de populairwetenschappelijke website Quanta Magazine over het gebruik van oneindigheid in zijn eigen werk.
Zeilberger pleit namelijk hartstochtelijk voor een definitief afscheid van oneindig. Het is, zo realiseert hij zich ook, een nogal rebelse houding in een discipline waarin het gebruik ervan de normaalste zaak van de wereld is. ‘Gelukkig eindigen ketters tegenwoordig niet meer op de brandstapel.’
Dat Zeilberger en andere wiskundigen die zijn mening delen ongemak voelen bij het idee dat iets oneindig kan zijn, is op zich niet vreemd. Sterker nog: zelfs de grondleggers van het idee worstelden soms met hun intuïtie.
‘Dat begon al bij iemand als Galileo’, zegt wiskundige KP Hart van de TU Delft, verwijzend naar de Italiaanse astronoom en wiskundige die vooral bekend werd vanwege zijn conflict met de kerk over de stelling dat de aarde om de zon draait in plaats van andersom. Galileo was echter ook een van de grondleggers van het denken over oneindigheid.
‘Hij schreef een dialoog tussen een leraar en een leerling over twee oneindige verzamelingen’, zegt Hart. De ene is die van de natuurlijke getallen: 1, 2, 3, 4, 5, enzovoorts. De andere krijg je door het kwadraat te nemen van de getallen in de eerste: 1, 4, 9, 16, 25, enzovoorts.
‘Zo op het oog lijkt het alsof er véél minder getallen in de tweede verzameling zitten. Je slaat er immers een heleboel over’, zegt Hart. En toch zijn beide verzamelingen oneindig groot.
Sterker nog, schrijf beide rijen onder elkaar en je kunt onder élk natuurlijk getal zijn kwadraat zetten, tot in het oneindige. Conclusie: beide rijen moeten wel even groot zijn. ‘Dat schuurde voor Galileo’, zegt Hart. ‘Want ineens is een set met daarin een deel van de natuurlijke getallen even groot als de set met daarin al die natuurlijke getallen.’
Andere denkoefeningen veroorzaakten dezelfde soort verwarring. Neem weer de natuurlijke getallen (1, 2, 3, enzovoorts) en zet de even getallen (2, 4, 6, enzovoorts) eronder. Intuïtief lijkt die eerste verzameling groter dan die tweede, maar ook daar kun je beide een-op-een met elkaar verbinden, door de even getallen door 2 te delen. Je krijgt dan de verzameling natuurlijke getallen terug, kijk maar:
2/2 = 1, 4/2 = 2, 6/2 = 3, 8/2 = 4, enzovoort, tot in – daar is-ie weer – het oneindige.
Ook die verzamelingen moeten dus even groot zijn, ongeacht het feit dat je intuïtie anders eist.
Wie een beetje hoofdpijn begint te krijgen, verkeert in goed gezelschap. Eeuwenlang worstelden experts met precies dit soort paradoxen. Totdat de beroemde wiskundige Georg Cantor, de grootvader van het moderne oneindige, grofweg 150 jaar geleden formeel orde op zaken stelde.
Verzinsel
Cantor introduceerde in 1874 de verzamelingenleer, waarin ‘oneindige verzamelingen’ plots getemd werden tot hanteerbare objecten, ingebed in een strikt wiskundig formalisme. In Cantors wereld bestond zo’n oneindige set, of verzameling, écht.
‘Vroeger hadden wiskundigen het spreken over het actuele oneindige bijna verboden. Het idee heerste toen dat je alle punten in een verzameling moet kennen om over die verzameling te kunnen spreken’, zegt Hart.
Hij vertelt hoe het de wiskundige Bernard Bolzano (1781–1848) was die het verzet tegen dat idee begon. ‘Hij zei: wat een flauwekul. Ik kan best over de verzameling inwoners van Praag praten – hij woonde in Praag – zonder dat ik de inwoners van de stad allemaal ken.’
Cantor maakte die gedachte af: verzamelingen met oneindig veel elementen maakte hij onderdeel van de verzamelingenleer, zodat wiskundigen er gewoon mee konden rekenen. Van iets ongrijpbaars werd het oneindige daarmee in elk geval in de wiskundeboeken plots iets alledaags.
Toch maakte dat de gevoelsmatige verwarring er niet minder op. Sterker nog: uit Cantors verzamelingenleer borrelden nog veel vreemdere conclusies op, die wiskundigen gedwongen werden te accepteren als onderdeel van Cantors succesvolle theorie.
Zo bleek bijvoorbeeld dat niet elke vorm van ‘oneindig’ gelijk geschapen is. In tegenstelling tot de voorbeelden hierboven kan de ene oneindige verzameling bij Cantor gerust ook groter zijn dan de andere – meer elementen bevatten, dus – terwijl beide verzamelingen tóch ‘oneindig groot’ zijn.
Het waren dat soort dingen die bleven schuren. Intuïtief zou je je zelfs kunnen afvragen of al die verwarrende conclusies niet gewoon een teken zijn dat ‘oneindig’ als zodanig een aardig verzinsel is, een handigheidje, of toch op z’n minst een leuke curiositeit op feestjes vol wiskundigen, maar dat het niet écht bestaat.\
‘Ik denk dat de meeste wiskundigen niet zo happig zijn op dit soort vragen en de filosofische implicaties ervan ontwijken. Ik denk dat ze in de dagelijkse praktijk een soort platonische houding voor oneindig hanteren’, zegt Van den Berg. Een filosofisch compromis waarin het oneindige deel uitmaakt van een soort ontastbare, abstracte ideeënwereld, maar tegelijk toch invloed heeft op de échte wereld.
Sterker nog, zegt Hart: gum het begrip ‘oneindig’ uit de wiskunde en je hebt al snel een probleem. ‘We gebruiken oneindige dingen om eindige voorwerpen te beschrijven’, zegt hij. Denk bijvoorbeeld aan een lijn die je door een eindig aantal punten in een grafiek trekt: zo’n lijn bevat formeel gezien een oneindige hoeveelheid punten. ‘Neem je afscheid van zulk soort abstracties, dan wordt het boekhouden in de wiskunde een stuk ingewikkelder.’ In de wiskunde is het oneindige daarmee, bizar genoeg, vaak ook een manier om het eindige te temmen.
Maar die breinpijnigende paradoxen dan? ‘Onze alledaagse intuïties zijn gevormd door het eindige’, zegt Van den Berg. ‘De kunst is om anders te leren nadenken.’
